10 faits du monde étrange des mathématiques infinies

À la fin du XIXe siècle, le mathématicien allemand Georg Cantor découvrit les mathématiques «transfinies», ou mathématiques au-delà de l'infini. Avec ce travail préliminaire, nous avons été introduits dans un monde où il existe des nombres plus grands que l'infini et des équations qui ne suivent pas les règles de sens commun de l'arithmétique. Autant dire que ce n’est probablement pas ce que vous avez appris au lycée.

Le travail de Cantor fut initialement controversé et fut attaqué vitriolement par certaines des figures mathématiques les plus importantes de son époque. Cependant, il a été progressivement accepté comme canon et a contribué à ouvrir la voie à la théorie des ensembles, qui est elle-même un potentiel sous-jacent pour toutes les mathématiques.

10 Infinity Plus Un (ou deux ou l'infini) égale l'infini

Il se trouve que cet vieil adage de l'enfance a quelque chose à dire. Étant donné la nature de l'infini, tout nombre ajouté à, soustrait, multiplié par ou divisé par lui est égal à l'infini. Cela se voit dans un casse-tête à l'infini classique appelé paradoxe de Hilbert:

Il y a un hôtel qui a un nombre infini de chambres. Un voyageur fatigué arrive et demande une chambre, mais il est informé que toutes les chambres sont occupées. Comment l’hôtel ne peut-il plus avoir de chambres, puisqu’il dispose de chambres infinies? Que doit faire le voyageur?

La réponse est que le voyageur devrait demander à la personne de la chambre 1 de passer à la chambre deux, à la personne de la chambre deux de passer à la chambre trois, et ainsi de suite… et de prendre la chambre un. L'infini est infiniment élastique et peut être agrandi ou réduit de n'importe quelle manière, qu'il s'agisse d'un voyageur ou d'un googolplex (oui, c'est un nombre réel).

9 Il y a autant de nombres impairs (et autant de nombres que se terminent par 123 ou 423) comme il y a de nombres

L'infini est si malléable parce que, à l'instar de l'hôtel Hilbert, toute série de nombres infinis peut être insérée dans ce que l'on appelle une «correspondance un à un» avec n'importe quelle partie infinie de cette série. En termes simples, cela signifie que si vous prenez tous les nombres entiers positifs (0, 1, 2, 3, 4…) et tous les nombres pairs positifs (0, 2, 4, 6, 8…), chacun des nombres entiers peut être jumelé avec un nombre pair. Ainsi, zéro peut être associé à zéro, un à deux, deux à quatre, et ainsi de suite.

Étant donné que les deux séries (ou «ensembles») de nombres correspondent pour chaque nombre, nous sommes en droit de dire qu'ils ont la même taille. Appelé le paradoxe de Galilée d'après son célèbre découvreur, cette expérience de pensée montre que la taille de l'infini ne peut pas être changée à l'aide des outils rudimentaires de l'arithmétique de base telle que la division ou l'addition de nombres finis. Pour cela, vous avez besoin de quelque chose de plus sophistiqué.

8 Certaines infinités sont plus grandes que d'autres

Le revers de la correspondance un-à-un est que s’il existe une série infinie de nombres qui a encore des nombres après avoir été appariés à une autre série infinie, nous pouvons dire que la série précédente d’infinis est en réalité plus grande que l'infini auquel il était assorti. Cela peut sembler impossible, mais vous pouvez probablement saisir intuitivement un cas où cela est vrai: le nombre infini de nombres entiers (0, 1, 2, 3…) est plus petit que le nombre infini de nombres irrationnels. Si vous vous souvenez des mathématiques au lycée, les nombres irrationnels sont des nombres comme pi qui ont une série de décimales indéfinies (3.1415…). Cantor a montré que le nombre infini de nombres irrationnels est plus grand que le nombre infini de nombres entiers en utilisant une astuce ingénieuse mais simple (par rapport à la plupart des preuves mathématiques révolutionnaires).

Il a commencé par supposer que les nombres irrationnels pouvaient être jumelés à des nombres entiers et a écrit une série de nombres entre zéro et un. (Ok, ce sont mes propres nombres aléatoires provenant de la purge du clavier, mais vous comprenez le point.) Il y a un nombre infini de ces lignes:

0,1435… apparié avec 0
0,7683… apparié avec 1
0.1982… apparié avec 2
0,9837… apparié avec 3

Etc. Vous pouvez ensuite créer un numéro à partir de cette série en prenant le premier chiffre de la première ligne, le deuxième chiffre de la deuxième ligne, etc. pour les numéros ci-dessus, ce serait 0.1687…

Maintenant, il pourrait y avoir un nombre de 0.1687… quelque part dans cette pile de chiffres. Toutefois, si vous ajoutez un à chacun des chiffres, le nombre devient 0,2798… et ce nombre ne peut pas figurer dans la pile, car il est par définition différent de l'un des nombres de la pile d'au moins un chiffre. Par conséquent, il reste encore des nombres irrationnels après avoir tenté de les faire correspondre à des nombres entiers normaux. Par conséquent, nous pouvons dire que le nombre infini de nombres irrationnels est plus grand que le nombre infini de nombres entiers.

Si vous pensez que c'est fou, tenez votre chapeau…

7 il y a une infinité de niveaux d'infinités

Cantor a également montré que, tout comme le nombre infini de nombres entiers se situe à un tout autre niveau d'infini que le nombre de nombres irrationnels, il existe également un type d'infini supérieur au nombre de nombres irrationnels, un niveau d'infini supérieur à cela, un autre au-dessus de cela, et ainsi de suite, à travers (vous l'avez deviné) l'infini. De plus, tout niveau d'infini ajouté à un niveau d'infini supérieur correspond automatiquement au niveau d'infini supérieur de la même manière que l'infini plus un égale l'infini.

le Reader's Digest pourquoi vous pouvez prendre une série infinie de nombres (par exemple, 0, 1, 2, 3…), puis créer une série infinie plus grande en prenant le nombre de toutes les différentes combinaisons possibles des numéros de la série originale. En mathématiques, cela s'appelle un jeu de pouvoir.Donc, pour les nombres entiers, le jeu de pouvoir comprendrait non seulement 1, 2, 3… mais aussi toutes les combinaisons de nombres dans cette série infinie de nombres comprenant 1 milliard et 1, 2, 13, 2 millions… etc. Lorsque vous avez créé votre premier groupe d’alimentation, il n’ya aucune raison pour que vous ne puissiez pas créer un groupe d’alimentation du groupe d’alimentation, ou un groupe d’alimentation d’un groupe d’alimentation d’un groupe d’alimentation d’un groupe de puissance…

6 Tout cela a finalement conduit Georg Cantor fou

Comme vous pouvez l’imaginer, s’appesantir trop sur tout cela peut influer sur votre sens de la réalité et c’est exactement ce qui est arrivé à son découvreur. Cantor croyait que le «prochain» niveau de l'infini après les nombres entiers était le nombre de nombres irrationnels; le seul problème était qu'il ne pouvait pas le prouver.

Ce fameux problème mathématique, appelé hypothèse de continuum (il finit par dire que Dieu lui avait révélé que cette hypothèse était vraie), combiné aux attaques perverses contre son travail, aboutit finalement à un effondrement psychologique et il passa le reste de ses séjours dans les hôpitaux tout en essayant de prouver que Francis Bacon a écrit les pièces de Shakespeare.

5 Le problème qui a conduit Cantor Insane est insoluble

Certaines personnes ont essayé de fournir un fondement rigoureux aux mathématiques en utilisant une série d'axiomes ou d'énoncés censés être si rationnels que l'on peut leur faire confiance sans explication préalable. (Par exemple, on ne peut pas égaler deux. Pourquoi? Parce que!)

Dans les années 1960, le mathématicien Paul Cohen a prouvé que l'hypothèse du continu est insoluble si nous supposons que les axiomes les plus couramment utilisés sont vrais. Cependant, à ce jour, les travaux mathématiques se poursuivent sous l'hypothèse que les axiomes sont vrais et que l'hypothèse du continuum est fausse, ainsi que l'hypothèse inverse selon laquelle les axiomes conventionnels sont vrais et l'hypothèse du continuum. Les mathématiciens considèrent que les différentes hypothèses sur l'hypothèse du continuum appartiennent à différents «univers mathématiques», car nous ne pouvons pas prouver que l'une ou l'autre est vraie.

4 Le symbole de l'infini que Cantor a choisi est une lettre hébraïque

À l'instar des astronomes et des biologistes, les mathématiciens qui découvrent un nouveau concept ou une valeur importante peuvent au moins avoir leur mot à dire sur son nom. Avec ce genre de pouvoir, on pourrait penser qu’il y aurait plus de personnages klingons en mathématiques de haut niveau aujourd’hui, mais non. Aussi créatifs que soient les mathématiciens, pratiquement aucun d'entre eux ne veut s'écarter des symboles grecs très conventionnels. C'est pourquoi différentes lettres grecques peuvent signifier tant de choses différentes selon la branche des mathématiques que vous utilisez - nous avons simplement beaucoup plus de constantes mathématiques et des concepts que les lettres grecques.

Alors que ses historiens discutaient toujours de son origine religieuse, Cantor voyait dans ce qu’il faisait comme un moyen d’approcher le divin par le biais des mathématiques. Il décida donc que les différents niveaux de l’infini seraient symbolisés par la première lettre de l’alphabet hébreu: aleph. L'ensemble de tous les nombres entiers serait aleph-néant, ou aleph avec un indice égal à zéro. L'infini immédiatement supérieur serait un-Aleph, qui, comme nous l'avons mentionné, peut être ou non le nombre de nombres irrationnels.

3 Il y a un niveau d'infini dans lequel Infinity Plus One n'est pas égal One Infinity

En plus des nombres Aleph, Cantor a également créé des nombres Oméga. Le premier nombre oméga est défini comme étant le plus petit nombre qui est supérieur au nombre de nombres entiers, ou le premier nombre après aleph-néant. Pour reprendre l'exemple de l'hôtel Hilbert, si le nombre de chambres est aleph-rien, le premier numéro Omega est une cabane à l'extérieur de l'hôtel. Le prochain numéro oméga qui suit est tout simplement un oméga plus un. Cela signifie cependant qu'un oméga plus est différent d'un oméga plus un, puisque celui du premier serait simplement absorbé par un oméga (puisque l'infini est malléable), alors que celui après un oméga représente l'étape suivante.

Malheureusement, comprendre une preuve plus technique de cela remplace les capacités de l'intellect de votre humble auteur, mais je l'ai lu dans un livre, donc cela doit être vrai.

2 Infinity Minus Infinity n'est pas égal à zéro

L'infini moins l'infini est indéfini de la même manière que diviser par zéro est indéfini.

Pour donner un exemple de la raison, puisque l'infini plus un égale l'infini ([infini + 1] = [l'infini]), si nous soustrayons l'infini des deux côtés, il nous reste 1 = 0. De même, et pour beaucoup de Pour les mêmes raisons, l'infini divisé par l'infini n'est pas un, mais est également indéfini.

1 Cela a réellement des applications scientifiques du monde réel

À l'instar de nombreux autres domaines mathématiques, ce qui a commencé comme une expérience de pensée purement théorique s'est avéré avoir des implications pour les sciences exactes. Par exemple, certaines équations de la mécanique quantique totalisent à l'infini; dans la pratique, les physiciens modifient l'équation pour rendre les calculs réalisables, mais il est difficile de savoir si cela est justifié, compte tenu de ce que nous savons des mathématiques transfinies.

En cosmologie, que l'univers soit infiniment grand, l'espace est divisible à l'infini, l'univers s'agrandira pour toujours, ou qu'il existe des univers infinis sont des questions ouvertes qui font appel à une logique infinie. Certains chercheurs ont même trouvé des applications du paradoxe hôtelier de Hilbert à la fois en optique quantique et classique.