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10 résultats les plus cool en mathématiques
Beaucoup de gens sont choqués par les symboles obscurs et les règles strictes des mathématiques, abandonnant un problème dès qu’ils voient les chiffres et les lettres en cause. Mais si les mathématiques sont parfois difficiles et denses, les résultats qu’elles peuvent prouver sont parfois belles, ahurissantes ou tout simplement inattendues. Des résultats comme:
10Le théorème à 4 couleurs
Le théorème à 4 couleurs a été découvert pour la première fois en 1852 par un homme du nom de Francis Guthrie, qui, à l'époque, essayait de colorier une carte de tous les comtés d'Angleterre (c'était avant l'invention d'Internet, il n'y avait pas grand chose à faire). faire). Il a découvert quelque chose d’intéressant: il n’avait besoin que d’un maximum de quatre couleurs pour s’assurer que les comtés partageant une même frontière n’avaient pas la même couleur. Guthrie se demandait si c'était vrai ou non pour une carte et la question devenait une curiosité mathématique qui restait sans solution pendant des années.
En 1976 (plus d'un siècle plus tard), ce problème fut finalement résolu par Kenneth Appel et Wolfgang Haken. La preuve qu'ils ont trouvée était assez complexe et reposait en partie sur un ordinateur, mais elle indique que sur toute carte politique (disons des États), il ne faut que quatre couleurs pour colorier chaque État, afin qu'aucun État de la même couleur ne soit jamais en état. contact.
9 Théorème du point fixe de Brouwer
Ce théorème provient d'une branche des mathématiques appelée topologie et a été découvert par Luitzen Brouwer. Bien que son expression technique soit assez abstraite, elle a de nombreuses implications fascinantes dans le monde réel. Disons que nous avons une photo (par exemple, la Joconde) et que nous en prenons une copie. Nous pouvons ensuite faire ce que nous voulons pour cette copie: l'agrandir, la réduire, la faire pivoter, la froisser, n'importe quoi. Le théorème du point fixe de Brouwer dit que si nous mettons cette copie au-dessus de notre image d'origine, il doit y avoir au moins un point sur la copie qui recouvre exactement le même point sur l'original. Cela pourrait faire partie de l'œil, de l'oreille ou du possible sourire de Mona, mais cela doit exister.
Cela fonctionne également en trois dimensions: imaginons que nous avons un verre d’eau et que nous prenons une cuillère et le brassons autant que nous le voulons. D'après le théorème de Brouwer, il y aura au moins une molécule d'eau qui se trouvera exactement au même endroit qu'avant le début de l'agitation.
Le paradoxe de Russell
Au tournant du XXe siècle, beaucoup de gens ont été séduits par une nouvelle branche des mathématiques appelée Set Theory (que nous aborderons un peu plus loin dans cette liste). Fondamentalement, un ensemble est une collection d'objets. À l'époque, on pensait que tout pouvait être transformé en un ensemble: l'ensemble de tous les types de fruits et l'ensemble des présidents des États-Unis étaient tout à fait valables. De plus, et c'est important, les ensembles peuvent contenir d'autres ensembles (comme l'ensemble de tous les ensembles de la phrase précédente). En 1901, le célèbre mathématicien Bertrand Russell a fait sensation en comprenant que cette façon de penser avait un défaut fatal: à savoir que rien ne peut être transformé en un ensemble.
Russell a décidé de se mettre à la méta et a décrit un ensemble contenant tous les ensembles qui ne se contiennent pas. L'ensemble de tous les fruits ne contient pas de lui-même (le jury ne sait toujours pas s'il contient ou non des tomates), il peut donc être inclus dans l'ensemble de Russell, avec beaucoup d'autres. Mais qu'en est-il de Russell lui-même? Il ne se contient pas, il devrait donc être inclus. Mais attendez… maintenant, il se contient, alors nous devons naturellement le retirer. Mais nous devons maintenant le remettre… et ainsi de suite. Ce paradoxe logique a entraîné une réforme complète de la théorie des ensembles, l'une des branches les plus importantes des mathématiques aujourd'hui.
7 Le dernier théorème de Fermat
Tu te souviens du théorème de Pythagore à l'école? Cela concerne les triangles rectangles et dit que la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du côté le plus long (x carré + y carré = z carré). Le théorème le plus célèbre de Pierre de Fermat est que cette même équation n'est pas vraie si vous remplacez le carré par un nombre supérieur à 2 (vous ne pouvez pas dire x en cube + y en cube = z en cube, par exemple), tant que x, y, et z sont des nombres entiers positifs.
Comme l'écrit Fermat lui-même: «J'ai découvert une preuve vraiment merveilleuse de ce que cette marge est trop étroite pour contenir.» C'est vraiment dommage, car si Fermat a posé ce problème en 1637, il n'a pas été prouvé pendant un certain temps. Et par peu de temps, je veux dire que cela a été prouvé en 1995 (358 ans plus tard) par un homme nommé Andrew Wiles.
6L'argument du jour maudit
Il est raisonnable de penser que la plupart des lecteurs de cet article sont des êtres humains. En tant qu'êtres humains, cette entrée sera particulièrement sobre: les mathématiques peuvent être utilisées pour déterminer quand notre espèce va s'éteindre. En utilisant la probabilité, de toute façon.
L'argument (qui existe depuis environ 30 ans et qui a été découvert et redécouvert à quelques reprises) indique essentiellement que le temps de l'humanité est presque terminé. Une version de l'argument (attribuée à l'astrophysicien J. Richard Gott) est étonnamment simple: si l'on considère la durée de vie complète de l'espèce humaine comme un scénario chronologique de la naissance à la mort, nous pouvons déterminer où nous en sommes maintenant.
Comme à l’heure actuelle n’est qu’un élément aléatoire de notre existence en tant qu’espèce, nous pouvons dire avec une précision de 95% que nous nous situons dans les 95% moyens du scénario, quelque part. Si nous disons qu’à l’heure actuelle, nous sommes exactement à 2,5% dans l’existence humaine, notre espérance de vie est la plus longue. Si nous disons que nous sommes 97,5% dans l'existence humaine, cela nous donne l'espérance de vie la plus courte. Cela nous permet d’obtenir une fourchette de la durée de vie attendue de la race humaine. Selon Gott, il y a 95% de chances que des êtres humains meurent entre 5,100 et 7,8 millions d'années. Alors voilà, humanité-mieux aller sur cette liste de seau.
Un autre élément mathématique dont vous vous souviendrez peut-être à l'école est la géométrie, qui est la partie des mathématiques dans laquelle le fait de griffonner dans vos notes était essentiel. La géométrie que la plupart d'entre nous connaissons s'appelle la géométrie euclidienne et repose sur cinq vérités assez évidentes, ou axiomes, qui vont de soi. C'est la géométrie régulière des lignes et des points que l'on peut dessiner sur un tableau. Pendant longtemps, cela a été considéré comme le seul moyen de travailler la géométrie.
Le problème, cependant, est que les vérités évidentes qu'Euclid a énoncées il y a plus de 2000 ans n'étaient pas si évidentes pour tout le monde. Il y avait un axiome (connu sous le nom de postulat parallèle) qui ne correspondait jamais aux mathématiciens et pendant des siècles beaucoup de gens ont essayé de le réconcilier avec les autres axiomes. Au début du 18ème siècle, une nouvelle approche audacieuse a été essayée: le cinquième axiome a simplement été remplacé par un autre. Au lieu de détruire tout le système de géométrie, un nouveau système a été découvert. Il s’appelle maintenant la géométrie hyperbolique (ou Bolyai-Lobachevskian). Cela a provoqué un changement de paradigme complet dans la communauté scientifique et ouvert les portes à de nombreux types de géométrie non euclidienne. L'un des types les plus en vue s'appelle la géométrie riemannienne, utilisée pour décrire nul autre que la théorie de la relativité d'Einstein (notre univers, de manière assez intéressante, ne respecte pas la géométrie euclidienne!).
4Formule d'Euler
La formule d'Euler est l'un des résultats les plus puissants de cette liste, et est due à l'un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, Leonhard Euler. Il a publié plus de 800 articles tout au long de sa vie, dont beaucoup à l’aveugle.
Son résultat semble assez simple au premier abord: e ^ (i * pi) + 1 = 0. Pour ceux qui ne le savent pas, e et pi sont des constantes mathématiques qui apparaissent dans toutes sortes d'endroits inattendus, et i représente l'unité imaginaire, un nombre égal à la racine carrée de -1. Ce qui est remarquable à propos de la formule d'Euler, c'est sa façon de combiner cinq des nombres les plus importants de toutes les mathématiques (e, i, pi, 0 et 1) en une équation aussi élégante. Le physicien Richard Feynman l'a qualifiée de «formule la plus remarquable en mathématiques» et son importance réside dans sa capacité à unifier de multiples aspects des mathématiques.
3 La machine universelle de Turing
Nous vivons dans un monde dominé par les ordinateurs. Vous lisez cette liste sur un ordinateur en ce moment! Il va sans dire que les ordinateurs sont l'une des inventions les plus importantes du XXe siècle, mais vous serez peut-être surpris de savoir que les ordinateurs sont à la base du domaine des mathématiques théoriques.
Alan Turing, mathématicien (et également acteur de la seconde guerre mondiale), développa un objet théorique appelé machine de Turing. Une machine de Turing est comme un ordinateur très basique: elle utilise une chaîne infinie de bandes et 3 symboles (par exemple, 0, 1 et blanc), puis fonctionne avec un ensemble d’instructions. Les instructions peuvent être de changer un 0 en un 1 et de déplacer un espace vers la gauche, ou de remplir un espace et de déplacer un espace vers la droite (par exemple). De cette manière, une machine de Turing pourrait être utilisée pour exécuter toute fonction bien définie.
Turing a ensuite décrit une machine de tournage universelle, une machine de Turing capable d'imiter n'importe quelle machine de Turing avec n'importe quelle entrée. C’est essentiellement le concept d’un ordinateur à programme enregistré. N'utilisant que des mathématiques et de la logique, Turing a créé le domaine de l'informatique plusieurs années avant que la technologie ne soit même possible de concevoir un véritable ordinateur.
2Différents niveaux d'infini
L'infini est déjà un concept assez difficile à saisir. Les humains ne sont pas faits pour comprendre l'infini, et pour cette raison, l'infini a toujours été traité avec prudence par les mathématiciens. Ce n'est pas avant la seconde moitié du XIXe siècle que Georg Cantor a développé la branche des mathématiques connue sous le nom de Set Théory (souvenez-vous du paradoxe de Russell?), Une théorie qui lui a permis de réfléchir à la véritable nature de l'infini. Et ce qu'il a trouvé était vraiment ahurissant.
En fin de compte, chaque fois que nous imaginons l'infini, il y a toujours un type d'infini différent qui est plus grand que cela. Le plus bas niveau de l'infini est la quantité de nombres entiers (1,2,3…), et c'est un infini dénombrable. Avec un raisonnement très élégant, Cantor décida qu’il existait un autre niveau d’infini, l’infini de tous les nombres réels (1, 1,001, 4,1516… pratiquement n’importe quel nombre auquel vous pouvez penser). Ce type d'infini est indénombrable, ce qui signifie que même si vous aviez tout le temps nécessaire dans l'univers, vous ne pourriez jamais énumérer tous les nombres réels dans l'ordre, sans en omettre certains. Mais attendez, il se trouve qu'il y a encore plus de niveaux d'infini innombrable après cela. Combien? Un nombre infini, bien sûr.
1 Théorèmes d'inachèvement de Gödel
En 1931, le mathématicien autrichien Kurt Gödel a prouvé deux théorèmes qui ont bouleversé le monde des mathématiques, car ils ont montré ensemble quelque chose de très décourageant: les mathématiques ne sont pas et ne seront jamais complètes.
Sans entrer dans les détails techniques, Gödel a montré que dans tout système formel (tel qu'un système de nombres naturels), il existe certaines affirmations vraies sur le système qui ne peuvent pas être prouvées par le système lui-même. Fondamentalement, il a montré qu'il est impossible qu'un système axiomatique soit complètement autonome, ce qui va à l'encontre de toutes les hypothèses mathématiques antérieures. Il n'y aura jamais de système fermé contenant tous les systèmes exclusivement mathématiques qui deviennent de plus en plus volumineux à mesure que nous essayons sans succès de les compléter.