10 exemples amusants de la théorie des nombres à des fins récréatives

Les mathématiciens aiment classer et organiser les nombres de toutes sortes de façons. Les nombres naturels sont utilisés pour le comptage et la commande; les numéros nominaux sont utilisés pour nommer (comme un numéro de permis de conduire); les nombres entiers sont des nombres pouvant être exprimés sans fraction ni décimale; les nombres premiers ne peuvent être divisés que par 1 et par eux-mêmes; etc. Mais il n'y a pas de limite à la façon dont nous pouvons comprendre et utiliser les nombres; En conséquence, il existe une branche des mathématiques pures, principalement basée sur l’étude des nombres entiers, appelée «théorie des nombres». Bien que nous comprenions maintenant que la théorie des nombres a des applications, des utilisations et des buts illimités, elle peut sembler frivole au point de l'inutilité - en particulier le sous-ensemble connu sous le nom de «théorie des nombres à des fins récréatives». Après tout, le théoricien des nombres, Leonard Dickson, a déclaré: «Dieu soit loué, la théorie des nombres ne peut être ternie par aucune application."

Mais cela ne signifie pas qu'il ne fournira pas une mesure du plaisir ringard pour ceux qui sont si enclins à le faire. Poursuivez votre lecture pour découvrir ce qui rend un nombre «intéressant», «étrange», «heureux», «narcissique», «parfait» et plus encore!

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Numéros amiables

Ah, des chiffres amicaux. Ils s'aiment tellement. Combien? Bien, prenons les paires classiques 284 et 220 et voyons à quel point elles sont amicales. Prenons tous les diviseurs de 220 (c’est-à-dire tous ses diviseurs qui ne laissent pas de reste, y compris le nombre 1 et excluant le nombre lui-même) et tous les autres:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Maintenant, prenons 284 et faisons la même chose:

1 + 2 + 4 +71 + 142 = 220.

Voila: une paire de chiffres à l'amiable. Les autres paires incluent (1184, 1210), (2620, 2924) et (5020, 5564). Ce type de paire de nombres a été découvert et étudié par les Pythagoriciens. Il a fait l’objet de nombreuses recherches au cours des siècles - Fermat, Descartes, l’Iranien Muhammad Baqir Yazdi et l’Irakien Bit ibn Qurra font partie des nombreux mathématiciens qui se sont plongés dans le monde des nombres à l'amiable. Les sujets à étudier plus en détail incluent les tentatives visant à déterminer s’il existe une quantité infinie de paires, à discerner les tendances et à mieux comprendre pourquoi et comment cela se produit.

Parce que les mathématiciens ne se contenteraient jamais de simples nombres à l'amiable, les «nombres fiancés» sont des paires où la somme des diviseurs propres à chaque nombre est égale à l'autre +1.

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Emirp

"Emirp" est le mot "premier" épelé à l'envers, et il fait référence à un nombre premier qui devient un nouveau nombre premier lorsque vous inversez ses chiffres. Les émirps n'incluent pas les nombres premiers palindromiques (151 ou 787, par exemple), ni les nombres premiers à 7 chiffres tels que 7. Les premiers émirps sont 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149 et 157. - Inverse-les et tu auras un nouveau nombre premier entre tes mains.

Le plus souvent, dire «émirp» à plusieurs reprises est une sorte de souffle. Essayer!

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Chiffres intéressants

Il existe dans le monde mathématique un vieux paradoxe appelé «paradoxe des nombres intéressants». En d'autres termes, si vous continuez à compter des nombres naturels, vous finirez par en rencontrer un qui n'est pas intéressant; là où il devient paradoxal, c'est qu'en raison du plus petit nombre inintéressant, ce nombre est devenu intéressant.

Bien sûr, tout cela est subjectif, car il repose sur une définition vague du mot «intéressant». De manière générale, un nombre est considéré comme intéressant s'il présente une qualité mathématique qui le distingue des autres; 19 est intéressant parce que c'est le premier, 999 est intéressant parce que c'est un palindrome (et la version britannique du 911); 24 est intéressant parce que (entre autres raisons), c’est le plus grand nombre divisible par tous les nombres inférieurs à sa racine carrée. Mathématiciens

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Nombres puissants

Achilles était un héros puissant de la guerre de Troie, extrêmement puissant mais qui avait un défaut: son talon d’Achille. Comme lui, les nombres d'Achille sont puissants mais pas parfaits.

Commençons donc par un nombre puissant. Un nombre est considéré comme puissant si tous ses facteurs premiers restent des facteurs une fois qu'ils sont carrés. 25 est un nombre puissant parce que son facteur premier, 5, reste un facteur une fois son équivoque (25, qui passe à 25 une fois). Passons maintenant aux puissances parfaites, nombre qui peut être exprimé en tant que puissance entière d'un autre entier; 8 est un pouvoir parfait, car il est 2 cubes.

Revenons donc au principe de départ: les nombres d'Achille sont puissants, mais ils ne sont pas des pouvoirs parfaits. 72 est le premier nombre d'Achille, car il est puissant, mais ce n'est pas un nombre premier parfait. Les autres comprennent 108, 200, 288, 392, 432, 500 et 648.

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Chiffres étranges

Quels sont les nombres étranges? Pour les comprendre, nous devons d’abord commencer par des nombres «abondants». Les nombres abondants, également appelés «excessifs», sont plus grands que la somme de leurs diviseurs appropriés. 12, par exemple, est le premier (le plus petit) nombre - la somme de ses diviseurs propres, 1 + 2 + 3 + 4 + 6, vaut 16. 12 a donc une «abondance» de 4, ce qui correspond à la somme de ses diviseurs dépasse le nombre. Il y a beaucoup de nombres, même abondants, mais nous n'arrivons pas à un nombre impair avant le nombre 945.

Certains nombres abondants sont «semiperfect» ou «pseudoperfect», ce qui signifie qu'ils sont égaux à tous ou à certains de leurs diviseurs appropriés. 12 est un nombre abondant imparfait, car certains de ses diviseurs peuvent être additionnés pour former 12.

Enfin, nous arrivons à des nombres étranges. Un nombre est bizarre s'il est abondant mais PAS semi-parfait; autrement dit, la somme de ses diviseurs est supérieure au nombre lui-même, mais aucun sous-ensemble des sommes du diviseur n'est égal à ce nombre. Les nombres étranges sont rares - les premiers sont 70, 836, 4 030 et 5 830.

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Chiffres intouchables

Bien que les nombres étranges ne soient pas égaux à la somme de leurs diviseurs, les nombres intouchables vont encore plus loin. Pour qu'un nombre soit intouchable, il ne doit pas être égal à la somme des diviseurs propres de N'IMPORTE QUEL nombre. Quelques intouchables sont 2, 5, 52 et 88; En fait, on pense que 5 est le seul nombre impair et intouchable qui existe (bien qu'il n'ait pas été formellement prouvé). Il existe un nombre infini de nombres intouchables, ce qui signifie qu'il n'existe pas de plus grand nombre.

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Nombres parfaits

Donc, après avoir discuté de l'étrange et de l'intouchable, il est temps de vérifier auprès de la grand-mère de tous les nombres appropriés liés aux diviseurs: des nombres parfaits. Un nombre parfait est celui qui est exactement égal à la somme de ses diviseurs appropriés (encore une fois, s’excluant lui-même). Le premier nombre parfait est 6, ses diviseurs (1, 2, 3) pouvant aller jusqu'à 6. Six suivis de 28, 496 et 8,128. Les premiers mathématiciens grecs ne connaissaient que ces 4 premiers nombres parfaits; Nichomatus a découvert 8 128 en l'an 100. Trois autres ont été découverts, le premier vers 1456 (33 550 336) par un mathématicien inconnu et en 1588 (8 589 869 056 et 137 438 691 328) par le mathématicien italien Pietro Cataldi en 1588.

Tous les nombres parfaits connus sont pairs; on ne sait pas encore si un nombre impair existe ou est même possible. Le mathématicien anglais James Joseph Sylvester a écrit: «… une méditation prolongée sur le sujet m'a convaincue que l'existence de tels [nombres impairs parfaits] - échappe pour ainsi dire au réseau complexe de conditions qui l'entourent de toutes parts. Ce serait un peu un miracle.

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Numéros heureux

Certains chiffres sont étranges; les autres sont heureux. Si vous souhaitez savoir si un nombre donné est satisfait, vous devez effectuer les opérations suivantes. Prenons le nombre 44:

Tout d'abord, placez chaque chiffre au carré, puis additionnez-les:

4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32

Ensuite, nous le ferons encore avec notre nouveau numéro:

3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13

Et encore:

1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10

Et enfin:

1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1

Voila! C'est un chiffre heureux. Chaque fois que vous prenez un numéro, effectuez cette “procédure” et arrivez au numéro 1, vous avez un numéro heureux. Si votre nombre n'atteint jamais 1, alors malheureusement, c'est malheureux. Fait intéressant, nombre heureux sont extrêmement fréquents; il y en a 11 entre 1 et 50, par exemple.

Pour terminer, le plus grand nombre heureux sans chiffres récurrents est 986 543 210. C'est un chiffre heureux en effet.

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Chiffres narcissiques

Les nombres narcissiques, également connus sous le nom de nombres Armstrong ou «invariants numériques plus que parfaits», sont des nombres qui écoutent de près, sont égaux à la somme de chacun de ses chiffres lorsque ces chiffres sont élevés à la puissance du MONTANT.

D'accord. Quoi? Prenons un exemple des quatre cubes narcissiques existants:

153 = 1^3 + 5^3 + 3^3
370 = 3^3 + 7^3 + 0^3
371 = 3^3 + 7^3 + 1^3
407 = 4^3 + 0^3 + 7^3

Dans ces cas, chaque chiffre est divisé en cubes, car il contient trois chiffres. Ensuite, ces nombres en cubes sont additionnés pour produire une somme égale au nombre original. Il n’existe pas de chiffres narcissiques à un chiffre, ni de chiffres à 12 ou 13 chiffres; les deux chiffres à 39 chiffres sont:

115132219018763992565095597973971522400 et 1151322190187639925650955979777222401.

Le mathématicien anglais GH Hardy a reconnu la frivolité de tels nombres en proclamant dans son livre «Les excuses du mathématicien»: «Ce sont des faits étranges, très appropriés pour les colonnes de casse-tête et susceptibles d’amuser les amateurs, mais rien n’est attrayant pour le mathématicien. ”

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Repdigits et repunits

Un repdigit est un nombre naturel avec un chiffre répétitif; le nom, en fait, vient du terme «chiffre répété». Le chiffre le plus connu est le soi-disant «nombre de bêtes» 666, symbole commun de l'Antéchrist ou de Satan. Un repunit est donc un repdigit qui utilise uniquement le nombre 1; les repunits apparaissent fréquemment dans le code binaire et sont liés au plus célèbre des nombres premiers, Mersenne Primes. On a supposé qu'il y avait un nombre infini de nombres premiers repunit, alors si vous souhaitez essayer de le prouver, veuillez le faire à votre guise.