Top 10 des choses inconnaissables

Il y a beaucoup de choses que nous ne savons pas; Personnellement, je suis une véritable corne d'abondance de l'ignorance. Mais il y a une différence entre des choses que nous ne savons pas et des choses qui ne peuvent pas être connues. Par exemple, personne ne sait quand Shakespeare est né (bien que nous sachions quand il a été baptisé). Cependant, il n'est pas impossible qu'à l'avenir nous le sachions - il est possible que l'on trouve un document perdu qui mentionne sa naissance. La véritable date de naissance de Shakespeare n'est donc pas inconnue, mais tout simplement inconnue. Cette liste contient 10 choses qui sont en principe inconnaissables. Non seulement ils sont inconnus maintenant, mais ils ne peuvent jamais être connus.

La plupart d'entre eux sont mathématiques; J'ai essayé de le rendre aussi technique que possible - mis à part tout le reste, je ne suis pas un mathématicien, j'ai donc essayé de le rendre suffisamment silencieux pour que je puisse le comprendre.

10

Ensembles et plus Ensembles

Unknowable Thing: Qu'y a-t-il dans un ensemble d'ensembles qui ne se contiennent pas?

Nous devons faire un peu de mathématiques pour plusieurs de ces éléments! C'est le premier sur la liste parce que, dans un sens, le concept de «l'inconnaissable» commence par ce paradoxe découvert par Bertrand Russell en 1901.

Commençons par l'idée d'un ensemble. Un ensemble est une collection d'objets. Par exemple, vous pouvez avoir un ensemble de nombres pairs positifs contenant 2, 4, 6, 8… ou un ensemble de nombres premiers contenant 2, 3, 5, 7, 11… jusqu'à présent. bien.

Les ensembles peuvent-ils contenir d’autres ensembles? Oui, pas de problème - vous pourriez avoir un ensemble d'ensembles contenant d'autres ensembles - et cet ensemble se contiendrait, évidemment. En fait, vous pouvez diviser des ensembles en deux types: ceux qui contiennent eux-mêmes et ceux qui ne les contiennent pas.

Alors, considérons un ensemble (S, disons) d’ensembles qui ne se contiennent pas. S se contient-il? Si c'est le cas, alors cela ne devrait pas être dans le décor, mais sinon, ça devrait l'être. Donc, S saute continuellement dans et hors de lui-même.

Ce paradoxe a causé beaucoup de consternation chez les mathématiciens. Imaginez quelqu'un qui prouve qu'un nombre peut être à la fois pair et impair, c'est également inquiétant. On a contourné le paradoxe, essentiellement en redéfinissant la théorie des ensembles.

9

Le numéro de Graham

Il a été dit que le problème avec la perception de l'univers par les gens est que notre cerveau n'est habitué qu'à traiter avec de petits nombres, de courtes distances et de brèves périodes de temps. Le nombre de Graham est assez important pour que le cerveau de la plupart des gens commence à s'emballer; c'est vraiment gros; pour la situer dans son contexte, regardons quelques grands nombres:

La plupart des gens ont entendu parler d'un googol - dans la plupart des cas, c'est un grand nombre - 10 ^ 100, soit 1 suivi de 100 zéros.

Il y a des nombres beaucoup plus grands là-bas cependant; un googolplex est égal à 1 suivi d'un googol zéro et le mathématicien Stanley Skewes a défini des nombres bien plus grands qu'un googolplex.

Pour les mettre en contexte, le plus petit d'entre eux (le googol) est encore beaucoup plus grand que le nombre de particules dans l'univers (environ 10 ^ 87).

Cependant, le numéro de Graham fait tomber ces "enfants en bas âge" - il a été utilisé par Ronald Graham dans son travail (pour moi) incompréhensible sur les hypercubes multidimensionnels (c'est la limite supérieure de l'une des solutions). Autant dire qu'il est bien plus grand que les chiffres de Skewes et que l'univers n'est pas assez grand pour stocker la version imprimée. Même si chaque chiffre avait la taille d'un électron. Pas même proche.

Ce qui est vraiment merveilleux avec le nombre de Graham, c’est qu’il est possible de calculer les derniers chiffres et nous savons que cela se termine par un 7.

8

Plus petit entier

Inconnaissable: Quel est le plus petit entier positif qui ne puisse être défini en moins de onze mots?

C'est un problème dans la philosophie des mathématiques. Pour clarifier un peu les choses, un entier est un nombre entier (1, 2, 3, etc.), et pour les plus petits, il est facile de les définir avec des mots:

“Le carré de 2” = 4
“Un de plus de 4” = 5

… etc. Maintenant, en tant qu’expérience de pensée, réfléchissez au nombre de phrases de onze mots; il y en a évidemment beaucoup; mais comme il n’ya qu’un nombre fini de mots (environ 750 000 en anglais), il n’ya donc qu’un nombre fini de phrases de onze mots - à un moment donné, vous vous épuiseriez et il y aurait un entier que vous ne pourriez pas définir. Sauf que "Le plus petit entier positif qui ne peut être défini en moins de onze mots" ne contient que dix mots, vous pouvez donc le définir en moins de onze mots.

C'est ce qu'on appelle le paradoxe de Berry et en fait, c'est une sorte de «tour de passe-passe» avec le langage - nous passons subtilement de la numérotation à la description, mais personne ne peut toujours en arriver là!

7

Logiciel

Unknowable Thing: Un programme d'ordinateur s'arrêtera-t-il?

Lorsque je suivais des cours de mathématiques pures à l'école, je m'étais souvent plaint que ce que nous apprenions était «inutile». Malheureusement, l'enseignant a simplement répondu: «vous apprenez cela parce que cela figure dans le programme». Le problème de Turing Halting sonne comme une note A inutile, entièrement académique, une perte de temps. Sauf que cela a conduit au développement des ordinateurs numériques.

Alan Turing était un mathématicien anglais et un enfant prodige, en particulier en mathématiques. Ses travaux sur les machines informatiques étaient tout d'abord théoriques; il travaillait sur l’idée de décrire des énoncés mathématiques entièrement numériquement afin qu’ils puissent être traités par une machine à calculer théorique. Il a imaginé le concept d'une machine informatique polyvalente (maintenant appelée machine de Turing) comme une expérience de pensée - il n'envisageait pas que quelqu'un en construise effectivement une.

Il a estimé qu'un programme d'ordinateur doit soit être exécuté à tout jamais, soit être arrêté.Il a prouvé qu'il était impossible de déterminer automatiquement ce qui se passerait - je sais que vous pourriez soutenir que vous pouvez "exécuter le programme et voir ce qui se passe", mais en supposant qu'il ne s'arrête qu'au bout de 7 billions de dollars?

Un peu plus sur Turing: son raisonnement est particulièrement remarquable car il l’a fait en 1936 - des années avant la construction du premier ordinateur numérique. La Seconde Guerre mondiale a débuté en 1939, mais Turing travaillait déjà au code criminel à Bletchley Park depuis un an. essayer de déchiffrer le code allemand Enigma. Il était clair qu'une approche «manuelle» était trop lente et Turing spécifia la première machine de décodage (appelée Bombe), ce qui aboutit à Colossus - sans doute le premier ordinateur numérique programmable capable de gérer automatiquement de nombreuses «clés» possibles. Son travail était si important pour le décryptage que beaucoup restaient secrets longtemps après la fin de la guerre; certains n'ont été publiés que cette année, 60 ans après sa rédaction.

6

Ne calcule pas

Inconnaissable: Certains nombres ne peuvent pas être calculés.

C'est un autre casse-tête prouvé par Alan Turing. Pour commencer, il y a plus d'un «infini». Par exemple, combien y a-t-il de nombres entiers positifs? Pourquoi, il y a l'infini - ils ne s'arrêtent jamais. Combien y a-t-il de nombres positifs et pairs? Identique - si vous doublez un nombre entier positif, vous obtenez un nombre pair correspondant. Il doit donc y avoir le même nombre.

Ok, combien y a-t-il de nombres réels? Les nombres réels incluent toutes les fractions, les nombres irrationnels (tels que pi) et les nombres entiers (positifs ou négatifs). Eh bien, il y a beaucoup plus que de nombres entiers - entre chaque nombre entier, il y a un nombre infini de nombres réels; le nombre de nombres réels est donc un infini beaucoup plus grand que le nombre de nombres entiers.

Avec ce concept fermement en place; vous pouvez raisonner ainsi:

Supposons que vous commenciez à écrire des programmes informatiques pour générer des nombres réels, un pour chaque nombre réel.

Vous comptez chaque programme; le premier est "1", le second, "2" et ainsi de suite - pendant que vous comptez, vous utilisez les nombres entiers positifs.

Le problème est que, bien que vous soyez heureux d’écrire un nombre infini de programmes, cet infini est bien plus petit que le nombre infini de nombres réels. Il doit donc y avoir beaucoup (en fait, la plupart) de nombres réels manquants - cela ne peut pas être calculé.

5

Vrai ou faux?

Inconnaissable: En mathématiques, il y a des choses vraies qui ne peuvent pas être prouvées - et nous ne savons pas ce qu'elles sont.

Ce théorème blessant le cerveau a été développé par Kurt Gödel. Le concept remonte à 1900 lorsque David Gilbert a proposé 23 «problèmes» en mathématiques qu'il aimerait voir résolus au XXIe siècle. Un problème était de prouver que les mathématiques étaient cohérentes - ce qui serait très agréable à savoir. Cependant, en 1901, Gödel l'a fait sortir de l'eau avec son théorème d'inachèvement - je ne vais pas le détailler en détail ici, en partie parce que je ne comprends pas tous les détails, mais surtout parce qu'il m'a fallu trois conférences distinctes J'ai même senti que j'y arrivais, alors si cela vous intéresse: Wikipedia est votre ami!

En résumé, le théorème montre que vous ne pouvez pas prouver que les mathématiques sont cohérentes en utilisant uniquement les mathématiques (vous devez utiliser un «méta-langage»). En outre, il a également montré que certaines choses vraies en mathématiques ne peuvent pas être prouvées.

Lorsque j’ai appris le théorème, il a été suggéré que le fameux dernier théorème de Fermat pourrait être une «telle chose qui n’est pas vraie», mais cela a été gâché à titre d’exemple quand Andrew Wiles l’a prouvé vrai en 1995. Cependant, ici Il y a quelques choses qui pourraient être vraies, mais non prouvables:

"Il n'y a pas de nombre parfait impair."

Un nombre parfait est un nombre entier positif dont les diviseurs s'additionnent. Par exemple, 6 est un nombre parfait - 1 + 2 + 3 = 1 * 2 * 3 = 6.

28 est le prochain nombre parfait. Les nombres parfaits sont rares et jusqu'à présent, seuls 41 nombres parfaits ont été trouvés. Personne ne sait combien il y en a - mais c'est entre 41 et l'infini!

Jusqu'à présent, tous les chiffres parfaits sont pairs, mais, encore une fois, personne ne sait s'il en reste un impair, mais s'il en existe un, c'est un très grand nombre; plus grand que 10 ^ 1500 - (1 avec 1500 zéros après).

"Chaque nombre pair est la somme de deux nombres premiers."

Un nombre premier n'est divisible que par lui-même ou 1 et il est curieux de constater que chaque nombre pair testé est la somme de deux d'entre eux - par exemple: 8 = 5 + 3 ou 82 = 51 + 31. Encore une fois. , c’est vrai pour beaucoup de chiffres (jusqu’à environ 10 ^ 17) et que plus un chiffre est élevé, plus il a de chances d’être un nombre premier, il semble donc plus probable que plus vous êtes élevé, mais qui peut dire qu'il n'y a pas vraiment de nombre pair élevé là où ce n'est pas vrai?

4

Quelle est la vérité, mec?

Toujours dans le monde de la prouvabilité, nous en venons au théorème d'indéfinissabilité de Tarksi, mais il est intéressant de noter qu'il y a quelque chose sur le fond de Tarksi.

Il était le fils de parents juifs nés en Pologne avant la guerre et il a eu beaucoup de chance. Il est né Alfred Teitelbaum en 1901. L'antisémitisme était répandu dans la Pologne d'avant la guerre et, en 1923, Alfred et son frère changèrent de nom de famille en «Tarski», un nom qu'ils avaient inventé parce qu'il sonnait plus polonais. Ils changèrent également de religion. de juif à catholique - bien qu'Alfred soit en réalité un athée.

À la fin des années 1930, Tarski a posé sa candidature à plusieurs chaires de professeur en Pologne, mais a été rejeté - heureusement, en fin de compte. En 1939, il fut invité à prendre la parole en Amérique lors d'une conférence à laquelle il n'aurait probablement pas assisté s'il avait récemment été nommé professeur.Tarski a attrapé le dernier navire à quitter la Pologne avant l'invasion allemande le mois suivant. Il ne pensait pas qu'il «s'échappait» de la Pologne - il a laissé ses enfants derrière lui en pensant qu'il reviendrait bientôt. Ses enfants ont survécu à la guerre et ont été réunis en 1946, bien que la majeure partie de sa famille élargie ait été tuée par l'occupant allemand.

Retour au théorème: Tarski a prouvé que la vérité arithmétique ne peut pas être définie en arithmétique. Il a également étendu cela à tout système formel; La «vérité» pour ce système ne peut pas être définie dans le système.

Il est possible de définir la vérité pour un système dans un système plus fort; mais bien sûr, vous ne pouvez pas définir la vérité dans ce système plus fort, vous devez passer à un système encore plus fort - et ainsi de suite, cherchant indéfiniment la vérité inaccessible.

3

Particularités des particules

Inconnaissable: Où est cette particule et à quelle vitesse va-t-elle?

Nous quittons le monde des mathématiques qui fait mal au cerveau, mais hélas, nous entrons dans le monde encore plus bouleversant du cortex de la physique quantique. Le principe d'incertitude est apparu lors de l'étude des particules subatomiques et a changé notre vision de l'univers. Quand j'étais à l'école, on nous a appris qu'un atome ressemblait à un mini système solaire avec un noyau semblable au soleil au milieu duquel circulaient des électrons, et ces électrons ressemblaient à de minuscules billes.

C'est tellement faux - et l'une des découvertes clés pour montrer que c'était le principe d'incertitude de Heisenberg. Werner Heisenberg était un physicien théoricien allemand qui a travaillé étroitement avec le physicien danois Niels Bohr dans les années vingt. Le raisonnement de Heisenberg est le suivant:

Comment savoir où se trouve une particule? Je dois le regarder, et le regarder je dois l'éclairer. Pour l'illuminer, je dois lui tirer des photons. Lorsqu'un photon frappe la particule, celle-ci est déplacée par les photons. Ainsi, en essayant de mesurer sa position, je change de position.

Techniquement, le principe dit que vous ne pouvez pas connaître simultanément la position et l’élan d’une particule. Ceci est similaire, mais pas le même effet que l’effet «observateur» dans les expériences où il existe certaines expériences dont les résultats changent en fonction de la manière dont ils sont observés. Le principe d'incertitude repose sur des bases mathématiques beaucoup plus solides et, comme je l'ai mentionné, a changé la façon dont l'univers est perçu (ou la façon dont l'univers du très petit est perçu). Les électrons sont maintenant considérés comme des fonctions de probabilité plutôt que des particules; nous pouvons calculer où ils sont susceptibles de se trouver, mais pas où ils se trouvent - ils pourraient en réalité être n'importe où.

Le principe d'incertitude était assez controversé lors de son annonce; Einstein a déclaré que «Dieu ne joue pas de dés avec l’univers» et c’est à peu près à ce moment-là que la scission qui sépare la physique sépare la mécanique quantique - qui étudie le très petit et la macro-physique qui étudie des objets et des forces plus grands. Cette scission doit encore être résolue.

2

Constante de Chaitin

La constante de Chaitin est un exemple de ce qui semble normal et sensé pour un mathématicien, mais qui sonne complètement fou. La constante de Chaitin est la probabilité qu'un programme informatique aléatoire s'arrête. Ce qui est fou à ce sujet (en fait, l’une des rares choses), c’est qu’il existe une constante différente pour chaque programme. Il existe donc un nombre infini de valeurs pour cette «constante» - qui est généralement représentée par un oméga grec (Ω) . L’autre chose un peu folle à ce sujet est qu’il est impossible de déterminer ce que Ω est - c’est un nombre non calculable, ce qui est vraiment dommage - si nous pouvions calculer Ω, il a été démontré que la plupart des problèmes non prouvés en mathématiques pourraient en fait être prouvés ( ou réfuté).

1

Inconnu Inconnaissable

Jusqu'ici, nous avons décrit des choses que nous savons être inconnaissables (si cela a du sens). Cependant, le dernier élément décrit des choses qui pourraient être vraies mais qui ne peuvent pas être connues. Vous pourriez penser que je vais avoir du mal à trouver un exemple, mais considérez ce qui suit:

Nous vivons dans un univers en expansion; quand nous regardons d'autres galaxies, elles s'éloignent de nous et accélèrent. Maintenant, dans un futur lointain (environ 2 000 milliards d’années), toutes les autres galaxies seront si loin qu’elles ne seront plus observables (techniquement, elles se déplaceront si rapidement que la lumière sera étirée en rayons gamma avec longueurs d'onde plus longues que l'univers est large). Donc, si vous étiez astronome dans 2 000 milliards d’années, il n’y aurait aucun moyen de savoir qu’il y avait des milliards d’autres galaxies dans l’univers - et si quelqu'un le suggérait, vous risqueriez de rire et de dire: «montre-moi les preuves; tu n'as rien."

Donc, gardant cela à l’esprit, revenons au présent - il pourrait y avoir de vraies choses sur l’univers que nous ne pourrons jamais savoir. Gorgée!

+

Ennuyeuse…

Inconnaissable: Y a-t-il des gens sans intérêt?

Il est assez facile de dire qu'il n'y a pas de gens sans intérêt:

Envisagez de dresser une liste de personnes sans intérêt. une de ces personnes sera la plus jeune - et être la plus jeune personne sans intérêt est, en soi, intéressante -, elles devraient donc être retirées de la liste. Maintenant, il y a une nouvelle personne inintéressante plus jeune, et ils peuvent également être supprimés de la liste, et ainsi de suite - jusqu'à ce que la liste soit vide. Donc, si vous rencontrez quelqu'un que vous jugez inintéressant, vous devez vous être trompé.